Potenze nei sistemi trifase

Potenze nei sistemi trifase

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La potenza elettrica di un sistema trifase si basa sulle considerazioni fatte a proposito del caso monofase, poichè questo, come detto in precedenza, è equivalente a tre sistemi monofasi facenti capo a un centro 0 (centro stella). Quindi la potenza elettrica istantanea di un sistema trifase può essere sempre espressa dalla somma dei prodotti dei valori istantanei della tensione e della corrente di ciascuna fase. Possiamo scrivere:

p = e₁ · i₁ + e₂ · i₂ + e₃ · i₃

dove e₁, i₁, e₂, i₂, e₃, i₃ indicano la tensione e la corrente (rispettivamente della prima, della seconda e della terza fase) che caratterizzano il circuito trifase in quella sezione dove è necessario calcolare la potenza istantanea.

Come nei sistemi monofasi, in pratica interessa conoscere la potenza reale che, come sappiamo, è definita come il valor medio della potenza istantanea. Essa, inoltre, può essere espressa come somma delle potenze reali delle singole fasi, cioè:

P = E₁ · I₁ cos φ₁ + E₂ · I₂ cos φ₂ + E₃ · I₃ cos φ₃

dove φ₁ è l’angolo di sfasamento fra E₁ e I₁ (valori efficaci della tensione e della corrente della prima fase) e così analogamente per φ₂ e φ₃ (diagramma vettoriale di Figura 1).

 

Allo stesso modo la potenza reattiva Q del sistema viene definita come somma algebrica delle potenze reattive delle singole fasi, cioè:

Q = E₁ · I₁ sen φ₁ + E₂ · I₂ sen φ₂ + E₃ · I₃ sen φ₃

La potenza apparente viene ricavata, infine, dalla formula di carattere generale:

analoga a quella vista per i circuiti monofasi, per cui si dimostra che la costruzione del triangolo delle potenze ha validità generale.

Facciamo attenzione a non incorrere in un errore abbastanza frequente, cioè quello di pensare di ricavare il valore della potenza apparente con la seguente espressione:

P_a = E₁ · I₁ + E₂ · I₂ + E₃ · I₃

Questa è errata perché i singoli prodotti E · I definiscono potenze apparenti parziali rappresentabili da vettori che hanno in generale direzioni diverse. Come vedremo più avanti questa espressione può servire solo per i sistemi simmetrici ed equilibrati.

Dalla conoscenza delle potenze possiamo dedurre il valore del fattore di potenza complessivo del sistema trifase che, come sappiamo vale:

Se il sistema trifase è simmetrico nelle tensioni, cioè se:

E₁ = E₂ = E₃

ed equilibrato nelle correnti:

I₁ = I₂ = I₃

l’angolo di sfasamento è (vedi Figura 2) per ogni fase uguale:

 

 

φ₁ = φ₂ = φ₃

La potenza istantanea in questo caso assume la seguente forma:

p = 3 · e · i

e la potenza attiva vale semplicemente:

P = E · I cos φ + E · I cos φ + E · I cos φ = 3 E · I cos φ

Ricordando poi che:

possiamo anche scrivere:

Potremmo dimostrare che in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato la potenza istantanea coincide con la potenza reale P.

Per quanto riguarda la potenza reattiva essa è data, analogamente, dalla seguente espressione:

Q = 3 E · I sen φ

oppure:

La potenza apparente, poichè i tre vettori E · I hanno la stessa direzione, può essere calcolata con la formula:

P_a = 3 E · I

oppure:

In ogni caso vale sempre l’espressione generale vista prima:

Il fattore di potenza totale del sistema trifase coincide, in questo caso con il fattore di potenza parziale:

cos Φ = cos φ

Le espressioni ricavate, valide in generale sia per il collegamento a stella che a triangolo, suggeriscono qualche osservazione. Infatti, poiché come abbiamo visto, le correnti I_l e I_f non sono numericamente uguali, impiegando lo stesso sistema di tensioni di alimentazione, le potenze assorbite sono diverse nei due casi.

Per tale motivo le espressioni simboliche vanno bene interpretate riconoscendo, a seconda dei collegamenti, i legami tra tensioni concatenate e di fase, tra correnti di linea e di fase.

A tale proposito proponiamo un problema, analogamente a quanto visto in precedenza per le correnti e le tensioni, confrontando i risultati ottenuti per i due collegamenti.

Un utilizzatore trifase viene alimentato con una tensione concatenata pari a 380 V e ha un’impedenza per fase di 20 Ω e un fattore di potenza pari a 0,8.

Calcoliamo la potenza attiva, reattiva e apparente nel caso che il collegamento delle fasi sia prima a stella e poi a triangolo. Ovviamente si tratta di un carico simmetrico ed equilibrato.

Nel collegamento a stella su ogni fase è applicata la tensione di fase, per cui la corrente vale:

La potenza attiva è allora:

La potenza reattiva è:

La potenza apparente è infine:

Nel collegamento a triangolo ogni fase è sottoposta alla tensione concatenata V, per cui abbiamo:

e

La potenza attiva è in questo caso:

La potenza reattiva vale:

e la potenza apparente:

Le potenze nel collegamento a triangolo potevano essere espresse anche come somma delle singole potenze all’interno del triangolo e cioè:

Possiamo osservare che, mentre la tensione applicata ad ogni elemento dell’utilizzatore è volte inferiore nel collegamento a stella, le potenze ottenute sono tre volte inferiori.

Per quanto riguarda i metodi risolutivi dei circuiti trifasi vale tutto quanto detto a proposito dei circuiti in corrente alternata monofase.

È opportuno comunque richiamare l’utilità del metodo di Boucherot nella risoluzione dei problemi connessi a circuiti trifasi. Ciò è particolarmente evidente quando si devono studiare sistemi che mettono in gioco più elementi energetici.

Un semplice esempio può chiarire ulteriormente quanto detto.

Una linea trifase a 380 V alimenta un forno elettrico trifase di potenza P₁ = 15 kW (cos φ = 1) ed un motore trifase di potenza P₂ = 20 kW con un fattore di potenza pari a 0,75.

Calcoliamo la corrente di linea ed il fattore di potenza totale.

È opportuno disegnare il diagramma vettoriale (triangolo delle potenze). Si ha (Figura 3) per cos φ = 0,75, φ = 41°.

 

 

Note le potenze attive dei carichi, quelle reattive sono perciò rispettivamente:

Q₁ = 0

Q₂ = P₂ · tg φ = 20 · 0,87 = 17,4 kVAR

La somma delle potenze parziali (Boucherot) dà:

P = P₁ + P₂ = 15 + 20 = 35 kW

Q = Q₁ + Q₂ = 17,4 kVAR

La potenza apparente è quindi:

Il fattore di potenza totale è:

a cui corrisponde un angolo (φ_l in Figura 3) uguale a 27°. Infine la corrente di linea è:

sfasata in ritardo dell’angolo φ_l sulla tensione di linea.

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