Tensioni e correnti nei sistemi trifase

Tensioni e correnti nei sistemi trifase

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Consideriamo un sistema trifase collegato a stella. Si definisce tensione stellata o di fase la tensione relativa ad una fase di un generatore odi un carico trifase collegato a stella. È definita invece tensione concatenata la tensione relativa a due dei tre morsetti principali (1, 2, 3 o A, B, C o R, S, T) di un dispositivo trifase, il collegamento delle cui fasi può essere qualsiasi.

Possiamo misurare le tensioni stellate o di fase collegando tre voltmetri tra le singole fasi e il centro stella del sistema. (La somma vettoriale delle tre tensioni di fase è, per quanto precedentemente detto, nulla) Figura 1.

Le tensioni concatenate possiamo misurarle, invece, inserendo tre voltmetri come indicato nella Figura 2.

Indichiamo le tensioni concatenate con la lettera V con due indici numerici (o letterali) che individuano fra quali fasi si misura la tensione: ad esempio V₁₂ rappresenta la tensione concatenata fra la fase 1 e la 2.

Nella Figura 2 possiamo vedere che la tensione V₁₂ è pari alla differenza vettoriale tra E₁ e E₂, così V₂₃ = E₂ – E₃ e V₃₁ = E₃ – E₁, sempre intese vettorialmente. La rappresentazione vettoriale delle tensioni concatenate è quindi quella riportata in figura (legate direttamente alle tensioni di fase).

Da ciò possiamo ricavare la seguente conclusione: anche la somma vettoriale delle tensioni concatenate è uguale a zero.

Inoltre, poichè i sistemi trifasi, per quanto detto in precedenza, sono generalmente simmetrici, le tensioni concatenate formano un triangolo equilatero e quindi ogni tensione concatenata è sfasata di 30° rispetto alle tensioni di fase che la compongono. Stabilito ciò, è possibile ricavare una relazione tra le tensioni concatenate e quelle di fase.

Poiché il coseno di 30° vale:

la proiezione di una tensione di fase nella direzione della concatenata (vedi Figura 3) vale:

lo stesso valore che ha la proiezione dell’altra tensione di fase.

Abbiamo allora in totale:

Possiamo quindi concludere affermando che in qualsiasi sistema trifase la tensione concatenata è 1,73 volte maggiore della tensione di fase; ad esempio un sistema che ha la tensione di fase E = 220 V, avrà tensione concatenata = 220 · 1,73 = 380 V.

Per quanto riguarda le correnti, dette in questo caso correnti di fase, sappiamo già che con sistemi a tre fili la somma vettoriale delle tre correnti è uguale a zero. Ciò non significa, però, che le correnti devono essere necessariamente uguali fra loro, poichè il loro valore e lo sfasamento con la rispettiva tensione di fase viene determinato in base all’impedenza di ciascuna fase. Quindi il diagramma vettoriale è diverso a seconda che il sistema sia equilibrato oppure squilibrato (vedi Figura 4).

La legge di Ohm, a seconda del tipo di sistema, può avere le seguenti espressioni:

1. per i sistemi simmetrici ed equilibrati, essendo uguali le tre tensioni di fase e le correnti, abbiamo:

E = Z · I

e, ricordando che , anche .

2. per i sistemi simmetrici e squilibrati, essendo le correnti diverse e diversamente sfasate rispetto alle tensioni di fase a causa delle diverse impedenze per fase, abbiamo una legge di Ohm per ciascuna fase:

E₁ = Z₁ · I₁ E₂ = Z₂·I₂ E₃ = Z₃·I₃

Consideriamo adesso un sistema trifase con collegamento a triangolo.

In questo caso appare chiaro che le tensioni relative al circuito dato sono tutte concatenate (vedi Figura 5).

Per quanto riguarda le correnti, possiamo osservare che in ciascuna fase circola una corrente (corrente di fase) differente da quelle di linea che percorrono i conduttori (correnti di linea).

Indichiamo le correnti di fase con due indici che individuano fra quali conduttori della linea esse passano ed il senso nel quale sono considerate (dal primo al secondo indice). Possiamo ricavare delle relazioni fra le correnti di fase e di linea per un sistema trifase a tre fili.

A tale scopo scriviamo il primo principio di Kirchhoff per ciascun nodo (vertice del triangolo).

Abbiamo allora:

Per le correnti di linea risulta, dalle equazioni scritte:

I₁ + I₂ + I₃ = 0

questa, come già sappiamo, rappresenta il primo principio di Kirchhoff esteso alla superficie racchiudente l’intero triangolo.

Poiché dunque la somma vettoriale delle tre correnti di linea ha risultante nulla, queste graficamente possono essere rappresentate con un triangolo chiuso (Figura 6).

Le tre correnti di fase sono sempre individuabili con una terna di vettori (stella) uscenti da un punto comune (centro) e i cui estremi si appoggiano ai vertici omonimi del triangolo rappresentante le correnti di linea. Osserviamo che, se le tre impedenze di carico sono uguali fra loro, il centro della stella coincide col baricentro 0 del triangolo stesso; nel caso contrario il centro della stessa risulta un punto 0′ differente dal baricentro 0.

Se il sistema è equilibrato (supponendo che sia comunque sempre simmetrico) le correnti di linea formano un triangolo equilatero e quindi ciascuna è sfasata di 30° rispetto alle correnti di fase che la compongono, similmente a quanto visto per le tensioni nel collegamento a stella.

Allo stesso modo possiamo ricavare una relazione numerica tra il valore efficace della corrente di linea e quella di fase:

dove con I_l e I_f, essendo il sistema equilibrato, abbiamo indicato rispettivamente la generica corrente di linea e di fase.

Ricordiamo che nel caso del collegamento a stella non c’è alcuna differenza fra la corrente di linea e quella di fase.

La legge di Ohm per il collegamento a triangolo in generale è

per sistemi squilibrati, e semplicemente:

V = Z · I_f

per sistemi equilibrati.

Riassumiamo in una Tabella le caratteristiche dei due tipi di collegamento, riferendoci a sistemi simmetrici ed equilibrati, per mettere in evidenza i parametri tensione e corrente e i loro legami, che interessano nei due casi.

Come possiamo vedere, nella stella gli elementi di un carico sono sottoposti ad una tensione inferiore rispetto a quella posta ai capi degli elementi nel sistema a triangolo.

Dallo specchietto possiamo vedere anche che, pur impiegando lo stesso sistema, di tensioni di alimentazione, i valori delle correnti I_l e I_f non risultano uguali numericamente nei due collegamenti, poiché abbiamo con le stesse impedenze, valori diversi di tensione nel collegamento a stella o a triangolo.

Un’applicazione numerica chiarisce ulteriormente quanto detto.

Tre impedenze uguali costituite da una resistenza R = 8 Ω e da una reattanza induttiva X_L = 6 Ω in serie possono essere collegate a stella o a triangolo ed alimentate da una linea trifase con tensione concatenata V = 380 V. Determiniamo nei due casi le correnti di linea.

• Se le fasi sono collegate a stella le tre correnti di fase sono uguali tra loro (in quanto il carico è equilibrato) e ciascuna di esse vale:

allora

• Se le fasi sono collegate a triangolo le tre correnti di fase sono uguali e poiché sono sottoposte a tutta la tensione V, ciascuna di esse vale in questo

Poiché si tratta di un carico equilibrato, la corrente di linea può essere ricavata dalla seguente espressione:

Confrontando i risultati nei due casi, osserviamo che la corrente assorbita nel collegamento a triangolo è tre volte maggiore di quella nel collegamento a stella, quando è uguale la tensione fra i morsetti.

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