La cinematica

Il moto è l’argomento fondamentale che ricorre in tutti i rami della fisica: gli atomi sono in movimento, in tutte le forme della materia; il moto degli elettroni produce corrente elettrica; i pianeti si muovono intorno al Sole, anche le galassie si muovono nello spazio. La cinematica studia il moto dei corpi, indipendentemente dalle cause.

Moto rettilineo uniforme

Prendiamo, ad esempio, come oggetto di osservazione il movimento di un’automobile. Con un cronometro misuriamo il tempo che impiega a percorrere la distanza indicata da due segnali stradali posti a 100 metri l’uno dall’altro (→ 1). Si fa partire il cronometro al passaggio dell’auto dinanzi al primo segnale e lo si ferma al successivo: lo strumento indica che l’auto ha percorso questa distanza in 5 secondi.

Dopo una serie di ripetuti, analoghi esperimenti, anche in luoghi diversi, se i risultati rimangono uguali (5 secondi per 100 metri), potremo affermare che l’auto percorre 100 metri in 5 secondi e potremo definire il movimento come un moto uniforme.

È evidente che se le misure fossero di 200 metri e di 10 sec, oppure di 50 m e di 2,5 sec, i risultati sarebbero ancora gli stessi: il quoziente tra spazio e tempo è uguale a 20, corrispondente al numero dei metri percorsi in un secondo. Il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato si dice velocità; nei moti uniformi il rapporto è costante.

Le misure di velocità vengono espresse in metri al secondo (m/sec), centimetri al secondo (cm/sec) e chilometri all’ora (km/h). Dato che un chilometro equivale a 1000 metri e un’ora a 3600 secondi, se ne deduce che l’auto dell’esempio precedente si muoveva a una velocità costante di 72 km/h.

Se il percorso tracciato dall’automobile (traiettoria) è una retta e la velocità è costante, si dice che il moto è rettilineo e uniforme.

Ritorniamo all’esempio iniziale. Se facciamo partire il cronometro quando l’auto passa al segnale dei 100 metri, lo spazio di 100 metri si dice spazio iniziale: esso viene in genere indicato con s₀ = s (t = 0), corrispondente all’istante iniziale in cui partono i tempi. Indichiamo con s lo spazio corrispondente al valore t, e con v la velocità (nel moto rettilineo uniforme la velocità ha la direzione e il verso del moto). Avremo pertanto:

cioè:

s = vt + s₀

Questa è la legge del moto uniforme.

Rappresentazioni grafiche

Questi risultati possono essere rappresentati per mezzo di grafici indicando sull’asse orizzontale (ascisse) i valori del tempo, e su quello verticale (ordinate) i valori dello spazio. Ogni posizione del mobile è rappresentata da un punto del piano, determinato dal tempo e dallo spazio corrispondenti a quella posizione. L’insieme di questi punti dà origine a una retta (→ 2), caratteristica del moto rettilineo uniforme.

La pendenza della retta fornisce una rappresentazione geometrica della velocità: la velocità risulta maggiore quanto maggiore viene ad essere la pendenza del grafico distanza-tempo.

Velocità media e velocità istantanea

Supponiamo che un veicolo debba percorrere 100 km in 2 ore: la velocità sarà di 50 km/h (→ 3). Si osserva, prima di tutto, che in questo esempio non si accenna alla direzione del percorso (ci limitiamo infatti al moto rettilineo) e, in secondo luogo, che si precisa soltanto la velocità media: non viene indicato infatti se il veicolo tiene una velocità costante di 50 km/h oppure se si verificano fermate e partenze. Se i primi 40 km sono percorsi in un’ora (con velocità costante di 40 km/h), e i rimanenti nell’ora successiva (con velocità costante di 60 km/h), la velocità media per l’intero percorso, definita come quoziente tra spazio totale percorso e tempo impiegato, rimane quella indicata: 50 km/h.

Se l’oggetto non si muove con velocità costante, la velocità media dipende dall’intervallo di tempo prescelto. Nell’esempio considerato, la velocità media è, durante la prima ora, di 40 km/h, mentre nella seconda è di 60 km/h.

Per avere informazioni più dettagliate, si dovrebbero conoscere le distanze percorse ogni mezz’ora, ogni 5 minuti, ogni minuto, ecc.: quanto più ristretto è l’intervallo di tempo preso in considerazione, tanto più preciso è il risultato (→ 1).

Con l’introduzione del concetto di velocità istantanea si può disporre di un metodo per determinare la velocità che dà una risposta univoca, senza che sia necessario specificare il tempo prescelto.

Supponiamo di conoscere un certo moto e di poter rappresentare la posizione del mobile in funzione del tempo per mezzo di una curva (→ 2).

Partiamo dal punto A, corrispondente allo spostamento S₃, nel tempo t₁. Se assumiamo come posizione finale il punto C, corrispondente allo spostamento S₃ e all’istante t₃, la velocità media in questo intervallo risulta:

Se, in un secondo tempo, riduciamo l’intervallo di tempo a t₂ t₁, abbiamo la velocità media:

v₁₂<v₁₃

La pendenza della linea AB è minore della pendenza della linea AC.

Se riduciamo ancora l’intervallo di tempo, a partire da t₁, avremo una velocità media di volta in volta minore. Questo procedimento può, in realtà, essere condotto indefinitamente; tuttavia, se si calcola la velocità media per un intervallo di tempo piccolissimo e, successivamente, per un intervallo di tempo più piccolo, noteremo che la variazione di valore della velocità media è minima. Possiamo, a questo punto, concepire un intervallo di tempo tanto piccolo che ogni ulteriore riduzione non altera la velocità media: questa velocità media limite è detta velocità istantanea (v). L’espressione matematica di questo risultato è:

Dal di vista geometrico, nel limite Δt = t₂ ‒ t₁→0 il punto B si approssima ad A, seguendo la curva, in modo che la retta che unisce B con A tende alla tangente alla curva in A. Così la pendenza della retta BA, che è la velocità media v₁₂, tende, in questo processo di limite, alla pendenza della tangente in A (che è la velocità istantanea in A). La velocità istantanea, in qualunque posizione, sarà data dalla pendenza della tangente alla curva spaziotempo nel punto che rappresenta quella posizione.

Accelerazione

Fino a questo momento, non abbiamo considerato i cambiamenti di direzione (o di verso) del moto, ed abbiamo solo parlato della variazione del modulo di velocità (Δv). Ma la variazione di velocità può derivare anche dal cambiamento della direzione del moto. In → 3 è rappresentata la traiettoria di un mobile e le sue velocità v1 e v2, alle posizioni P₁ e P₂, occupate, rispettivamente, negli istanti t₁ e t₂; il vettore  rappresenta la variazione di velocità in questo intervallo di tempo. L’accelerazione media tra gli istanti t₂ e t₁ è un vettore con direzione e verso di . Il modulo di tale vettore è dato dal quoziente tra il modulo della variazione di velocità e il tempo t₂ ‒ t₁.

Se prendiamo l’istante t₂, sempre più vicino a t₁, il vettore accelerazione media tende al vettore accelerazione istantanea, corrispondente all’istante t₁, cioè alla posizione P, del mobile. Si può dimostrare che questo vettore di accelerazione si trova in un piano determinato dalla tangente e dalla normale principale alla traiettoria in P₁, diretto verso la concavità; le proiezioni del vettore accelerazione si dicono componenti tangenziale e normale (→ 4).

L’accelerazione tangenziale in un punto è uguale alla variazione per unità di tempo del modulo della velocità nel punto considerato:

L’accelerazione normale in un punto è uguale al quadrato della velocità, diviso per il raggio di curvatura della traiettoria in quel punto (→ 4):

Rappresenteremo ora mediante una curva non più le posizioni del mobile, ma le sue velocità in funzione del tempo (pagina precedente → 5).

La tangente in un punto della curva rappresenta l’aumento del modulo della velocità nell’unità di tempo. Nel caso in cui la velocità conservi costante il suo modulo (movimento uniforme) il grafico è costituito da una retta orizzontale (pendenza nulla); possiamo quindi giustamente affermare che i moti uniformi hanno accelerazione nulla.

 Se la traiettoria è rettilinea, il raggio di curvatura è di conseguenza infinito in tutti i suoi punti e quindi: l’accelerazione normale risulta nulla: i moti rettilinei hanno accelerazione normale nulla.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Viene indicato come moto rettilineo uniformemente accelerato il moto rettilineo con accelerazione costante: l’accelerazione risulta puramente tangenziale, appunto perché il moto è rettilineo; inoltre, poiché la direzione della tangente è quella della retta, l’accelerazione è un vettore in quella stessa direzione.

Assegnando un verso alla traiettoria, l’accelerazione è determinata dal modulo con il segno + o con il segno -, a seconda che il suo verso sia positivo o negativo rispetto alla traiettoria.

Accelerazione costante significa quindi accelerazione con modulo e segno costanti.

Inoltre, poiché l’accelerazione è uguale all’incremento di velocità per unità di tempo e in questo caso è costante, a intervalli di tempo uguali corrispondono incrementi uguali di velocità (→ 1). Se indichiamo con v₀, la velocità del mobile nell’istante in cui si dà inizio alla misurazione dei tempi, e con v la velocità al tempo t, l’incremento (positivo o negativo) della velocità in tale intervallo è v – v₀. L’accelerazione a è data pertanto da:

Da ciò si deduce:

v = v₀ + at

equazione di una retta in un grafico velocità tempo. Per determinare lo spazio percorso in un tempo t, è sufficiente calcolare la velocità media (→ 2):

e quindi moltiplicare questa velocità media per il tempo t. Si ottiene la distanza s – s₀ percorsa nel tempo t:

ovvero la legge del moto rettilineo uniformemente accelerato (→ 3). Le unità di misura dell’accelerazione nel sistema MKS (metro, chilogrammo, secondo) sono il metro per secondo al secondo (m/sec); nel sistema cgs (centimetro, grammo, secondo) sono il centimetro al secondo per secondo (cm/sec).

Moto dei corpi che cadono

I primi studi sulla caduta dei corpi si devono a Galileo, che lasciando cadere dall’alto (secondo la tradizione dalla torre di Pisa) oggetti di peso la tradizione della torre di diverso, stabilì che il peso del corpo non influenza il moto di caduta (→ 4, 5) e concluse che il moto di caduta libera è un moto uniformemente accelerato. Le tecniche attuali permettono di verificare l’ipotesi di Galileo: ad esempio con una fotografia stroboscopica si può verificare che due sfere di massa diversa cadono alla stessa velocità (→ 6).

L’accelerazione di un corpo in caduta libera in prossimità della superficie terrestre è stata calcolata pari a 9,8 m/sec², detta accelerazione di gravità (g).

Nella figura (→ 7) sono rappresentate due sfere liberate nello stesso istante: la sfera 1 è stata lasciata cadere, mentre alla sfera 2 è stata impressa una velocità orizzontale iniziale. Si può verificare che per entrambe le sfere i componenti verticali della velocità sono uguali. Nella figura successiva (→ 8) è riportata la sequenza dei vettori velocità per la sfera 2.