Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori
Diagrammi – Elementi di Trigonometria – Vettori
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Per lo studio delle correnti alternate, occorre conoscere alcune nozioni di matematica senza le quali la comprensione di tali argomenti presenterebbe non poche difficoltà.
Un concetto molto importante è quello di funzione. Sappiamo che le quantità che mantengono sempre lo stesso valore sono dette costanti. Per contro, una quantità alla quale si possono assegnare valori arbitrari si dice variabile, e viene indicata solitamente con le ultime lettere dell’alfabeto x, y, z.
Diciamo che la variabile y è funzione della variabile x e si scrive y = f(x), quando esiste una relazione che fa corrispondere ad ogni valore di x, variabile indipendente, un ben determinato valore di y, variabile dipendente. Sono esempi di funzione le seguenti dipendenze:
l’area della superficie “di un quadrato” (y) che dipende dalla lunghezza del suo lato; il volume di una sfera (y) che dipende dal suo raggio (x); la corrente y, in un circuito che abbia una resistenza determinata, dipende dalla tensione applicata.
Le funzioni vengono studiate mediante la loro rappresentazione grafica o diagramma cartesiano. Per fare questo si fissano nel piano due assi perpendicolari tra loro, uno orizzontale ed uno verticale. Su ciascuno viene riportata una delle due grandezze: generalmente si ha la variabile indipendente x sull’asse orizzontale (asse delle ascisse o asse x), quella dipendente y, su quello verticale (asse delle ordinate o asse y). Ogni asse viene suddiviso a partire dall’origine, punto d’incontro dei due assi, in un certo numero di parti. Assegnando alla variabile indipendente x dei valori arbitrari, otteniamo, in corrispondenza, i valori di y. Per esempio se il lato di un quadrato (x) vale 2 o 4 o 7 o 10, l’area (y) sarà rispettivamente 4, 16, 49, 100. Ad ogni coppia di punti (x, y), nel nostro esempio (2,4) – (4, 16) – (7, 49)– (10, 100), corrisponde nei piano un solo punto. Unendo tra di loro tutti questi punti si ha il diagramma cercato.
Altrettanto importante è in elettrotecnica, la trigonometria che fornisce i mezzi per calcolare tutti gli elementi di un qualsiasi triangolo quando ne siano noti tre a piacere, fra i quali almeno un lato.
Premettiamo qualche definizione essenziale.
Un angolo può essere misurato in gradi sessagesimali e in radianti.
Il grado, come è noto, è la 360° parte dell’angolo giro e i suoi sottomultipli sono:
- il primo che è la sessantesima parte del grado;
- il secondo che è la sessantesima parte del primo.
Per indicare che un angolo ha la misura di 43 gradi, 15 primi e 26 secondi, scriveremo 43° 15′ 26″.
Si dice radiante l’arco di una circonferenza che abbia lunghezza uguale al raggio, e angolo radiante l’angolo che sottende un radiante.
Una misura fatta con un sistema può essere convertita nell’altro sistema adoperando delle semplici relazioni. Se si indica con α° la misura di un angolo in gradi e con φrad quella di uno in radianti, si ha la proporzione:
α° : 180° = φrad : π
da cui:
e
Per la risoluzione dei triangoli si fa ricorso ad alcune funzioni caratteristiche definite considerando una circonferenza di raggio unitario e un generico angolo al centro α i cui valori numerici e variazioni sono in relazione ai valori assunti da un angolo.
Definiamo seno dell’angolo α e lo indichiamo con sen α il rapporto tra l’ordinata MH e il raggio OM:
Il coseno dell’angolo α (cos α) è definito invece come rapporto tra l’ascissa OH e il raggio OM:
Ricordando poi che abbiamo definito sia il seno che il coseno considerando una circonferenza di raggio unitario, è OM = 1, e quindi possiamo scrivere:
sen α = MH cos α = OH
La tangente dell’angolo α (tg α) è il rapporto tra il segmento AT e il raggio OM che corrisponde al rapporto tra seno e coseno:
Trattandosi di rapporti tra segmenti, le funzioni trigonometriche sono dei numeri puri, cioè non hanno dimensioni fisiche.
È evidente che al variare dell’angolo ai valori del seno, del coseno e della tangente varieranno anch’essi. Precisamente il seno e il coseno oscilleranno tra 1 e – 1; la tangente invece può assumere tutti i valori possibili, positivi e negativi.
La Tabella1 riporta i valori del seno, del coseno e della tangente per alcuni angoli (indicati con φ) compresi tra 0° e 90°.
Tabella 1. Funzioni dell’angolo |
|||
φ |
sen φ |
cos φ |
tan φ |
0 |
0,0000 |
1,0000 |
0,0000 |
1 |
0,0175 |
0,9999 |
0,0175 |
2 |
0,0349 |
0,9994 |
0,0349 |
3 |
0,0523 |
0,9986 |
0,0524 |
4 |
0,0698 |
0,9976 |
0,0699 |
5 |
0,0872 |
0,9962 |
0,0875 |
6 |
0,1045 |
0,9945 |
0,1051 |
7 |
0,1219 |
0,9925 |
0,1218 |
8 |
0,1392 |
0,9903 |
0,1405 |
9 |
0,1564 |
0,9877 |
0,1584 |
10 |
0,1736 |
0,9848 |
0,1763 |
11 |
0,1908 |
0,9816 |
0,1344 |
12 |
0,2079 |
0,9781 |
0,2126 |
13 |
0,2250 |
0,9744 |
0,2309 |
14 |
0,2419 |
0,9703 |
0,2493 |
15 |
0,2588 |
0,9659 |
0,2679 |
16 |
0,2756 |
0,9613 |
0,2867 |
17 |
0,2924 |
0,9563 |
0,3057 |
18 |
0,3090 |
0,9511 |
0,3249 |
19 |
0,3256 |
0,9955 |
0,3443 |
20 |
0,3420 |
0,9397 |
0,3640 |
21 |
0,3584 |
0,9336 |
0,3839 |
22 |
0,3746 |
0,9272 |
0,4040 |
23 |
0,3907 |
0,9205 |
0,4245 |
24 |
0,4067 |
0,9135 |
0,4452 |
25 |
0,4226 |
0,9063 |
0,4663 |
26 |
0,4348 |
0,8988 |
0,4877 |
27 |
0,4540 |
0,8910 |
0,5095 |
28 |
0,4695 |
0,8829 |
0,5317 |
29 |
0,4848 |
0,8746 |
0,5543 |
30 |
0,5000 |
0,8660 |
0,5774 |
31 |
0,5150 |
0,8572 |
0,6009 |
32 |
0,5299 |
0,8480 |
0,6249 |
33 |
0,5446 |
0,8387 |
0,6494 |
34 |
0,5592 |
0,8290 |
0,6745 |
35 |
0,5736 |
0,8192 |
0,7002 |
36 |
0,5878 |
0,8090 |
0,7265 |
37 |
0,6018 |
0,7986 |
0,7536 |
38 |
0,6157 |
0,7880 |
0,7813 |
39 |
0,6293 |
0,7771 |
0,8098 |
40 |
0,6428 |
0,7660 |
0,8391 |
41 |
0,6561 |
0,7547 |
0,8693 |
42 |
0,6691 |
0,7431 |
0,9004 |
43 |
0,6820 |
0,7314 |
0,9324 |
44 |
0,6947 |
0,7193 |
0,9657 |
45 |
0,7071 |
0,7071 |
1,0000 |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
. |
|
90 |
1,0000 |
0,0000 |
¥ |
A questo punto possiamo ricavare facilmente le formule risolutive dei triangoli rettangoli.
Sfruttando quanto detto e utilizzando i simboli della figura, abbiamo per l’angolo x:
Da cui possiamo ricavare:
c = a·sen γ b = a·cos γ c = b·tg γ
Considerando l’angolo β avremo:
e quindi:
b = a·sen β c = a·cos β b = c·tg β
Osserviamo che nel caso di un triangolo rettangolo per determinarne tutti gli elementi è sufficiente conoscerne due soli, essendo il terzo (l’angolo retto) noto.
L’ultimo argomento da affrontare è quello riguardante vettori e il calcolo vettoriale.
In fisica le grandezze si possono suddividere in due categorie: grandezze scalari e grandezze vettoriali. Alla prima appartengono grandezze che possono essere definite solo da un numero, come ad esempio il tempo o la temperatura. Alla seconda quelle grandezze che per essere definite completamente abbisognano di un numero, detto intensità o modulo, una direzione, e un verso.
Pensate a un uomo che muove un peso. Sapere con quanta energia (modulo) compie questa operazione non è sufficiente. Occorre infatti, sapere anche in che direzione lo muove (la retta lungo cui avviene il movimento): per esempio se lo sposta orizzontalmente o verticalmente e anche in che verso, alto o basso, destra o sinistra. Possiamo sostituire l’uomo con un vettore rappresentato da una freccia la cui lunghezza è il modulo, la retta su cui giace è la direzione, e il verso è dato dalla punta.
I vettori sono indicati oltre che da una freccia da una lettera in grassetto con un tratto sovrapposto.
Le operazioni sui vettori che interessano di più sono la somma e la differenza.
In figura è riportata la somma vettoriale di due vettori e eseguita con la regola del parallelogramma, che consiste nel tracciare dai vertici dei due vettori le parallele alle loro direzioni. La somma è la diagonale principale del parallelogramma.
Il calcolo matematico della somma può essere eseguito con relazioni trigonometriche quando è noto l’angolo tra i due vettori.
Noi considereremo in elettrotecnica vettori che generalmente sono perpendicolari tra loro; potremo sfruttare così le relazioni per la risoluzione dei triangoli rettangoli.
La differenza tra i vettori due vettori e può rappresentarsi in figura e sarebbe identificata dall’altra diagonale del parallelogramma. Può comunque essere ricavata con la regola della somma tenendo presente che il vettore – corrisponde al modulo e alla direzione del vettore , ma con verso invertito: ciò equivale a dire pure che il vettore può essere sommato al vettore dopo essere stato ribaltato di un angolo di 180°.
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