Esercizio 12: Soluzione

La stella di resistenze R₁, R₂, R₃ può essere ricondotta ad un triangolo equivalente utilizzando le seguenti formule:

$R_{12} = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_3}$
$R_{23} = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_1}$
$R_{13} = \frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_2}$

Figura 1 – Schema del circuito e trasformazione stella-triangolo

Dato che $R_1 = R_2 = R_3 = 30\,\Omega$ , tutte le nuove resistenze del triangolo risultano uguali:

$R_{12} = R_{23} = R_{13} = \frac{30 \cdot 30 + 30 \cdot 30 + 30 \cdot 30}{30} = 90\,\Omega$

Ora calcoliamo la resistenza equivalente tra R₅ e R₁₃ in parallelo:

$R_X = R_Y = R_5 \parallel R_{13} = \frac{150 \cdot 90}{150 + 90} = \frac{13500}{240} = 56{,}25\,\Omega$

Essendo in serie, la loro somma è:

$R_{XY} = R_X + R_Y = 56{,}25 + 56{,}25 = 112{,}5\,\Omega$

Ora possiamo calcolare la resistenza totale tra i punti A e B:

$R_{AB} = \left( \frac{1}{R_4} + \frac{1}{R_{12}} + \frac{1}{R_{XY}} \right)^{-1} = \left( \frac{1}{150} + \frac{1}{90} + \frac{1}{112{,}5} \right)^{-1} = 37{,}5\,\Omega$

Risultato finale:

$R_{AB} = 37{,}5\,\Omega$

Considerazioni

Questa esercitazione mostra chiaramente come la trasformazione stella-triangolo e l’analisi dei collegamenti serie/parallelo permettano di risolvere circuiti complessi con semplicità ed eleganza.

Considerazioni

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