Mer. Apr 23rd, 2025

Esercizio 7: Soluzione

Dati

$E = 30\,\text{V}$
$R_1 = 10\,\text{k}\Omega$
$R_2 = 20\,\text{k}\Omega$
$V_{AO} = 11\,\text{V}$

Situazione con tasto T aperto

La corrente del generatore percorre solo $R_1 + R_2$ . Applichiamo la legge di Ohm:

$I = \frac{E}{R_1 + R_2} = \frac{20}{3 + 7} = \frac{20}{10} = 2\,\text{mA}$

$V_{AO} = R_2 \cdot I = 7 \cdot 2 = 14\,\text{V}$

Situazione con tasto T chiuso

Calcolo analitico di $R_p$ e $R_3$

Per la regola del partitore di tensione:

$V_{AO} = \frac{R_p \cdot E}{R_1 + R_p} \Rightarrow 11 = \frac{20 \cdot R_p}{3 + R_p}$

$11(3 + R_p) = 20 R_p \Rightarrow 33 + 11 R_p = 20 R_p$

$33 = 20 R_p - 11 R_p \Rightarrow 33 = 9 R_p \Rightarrow R_p = \frac{33}{9} = \frac{11}{3}\,\text{k}\Omega$

Espressione del parallelo $R_p = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$

$\frac{11}{3} = \frac{7 R_3}{7 + R_3}$

$11(7 + R_3) = 21 R_3 \Rightarrow 77 + 11 R_3 = 21 R_3$

$77 = 10 R_3 \Rightarrow R_3 = \frac{77}{10} = \boxed{7{,}7\,\text{k}\Omega}$

La tensione al punto A scende di 3 V, quindi:

$V_{AO} = 11\,\text{V}$

Resistenza equivalente $R_p$ tra $R_2$ e $R_3$

$R_p = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3}$

Applichiamo la formula del partitore di tensione:

$V_{AO} = \frac{R_p E}{R_1 + R_p}$

Sostituiamo i dati:

$11 = \frac{R_p \cdot 20}{3 + R_p}$

$11(3 + R_p) = 20 R_p \Rightarrow 33 + 11 R_p = 20 R_p$

$33 = 9 R_p \Rightarrow R_p = \frac{33}{9} = 3{,}67\,\text{k}\Omega$

Ricaviamo $R_3$ dalla formula del parallelo

$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \Rightarrow \frac{1}{R_3} = \frac{1}{R_p} - \frac{1}{R_2}$

$\frac{1}{R_3} = \frac{1}{3{,}67} - \frac{1}{7} \approx 0{,}272 - 0{,}143 = 0{,}129$

$R_3 \approx \frac{1}{0{,}129} \approx \boxed{7{,}75\,\text{k}\Omega}$

Metodo alternativo per calcolare $R_p$

Poiché la resistenza $R_1$ è tra le due d.d.p. $V_{AO} \) ed \( E$ , possiamo scrivere:

$0 = V_{AO} + V_I - E \Rightarrow E - V_{AO} = R_1 \cdot I$

Ricaviamo la corrente $I$ :

$I = \frac{E - V_{AO}}{R_1} = \frac{20 - 11}{3} = \frac{9}{3} = 3\,\text{mA}$

Questa è la corrente che attraversa la resistenza $R_p$ . Allora, per la legge di Ohm:

$V_{AO} = R_p \cdot I \Rightarrow R_p = \frac{V_{AO}}{I} = \frac{11}{3} = \boxed{3{,}67\,\text{k}\Omega}$

Come già trovato nel metodo precedente.

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