Esercizio 11: Soluzione

Variazione di tensione e densità di energia in un condensatore con dielettrico inserito

Un condensatore tra le cui armature è stato fatto il vuoto è connesso ad una batteria da 12 V e caricato. In seguito viene scollegato dalla batteria tra le sue armature e inserito un materiale di costante dielettrica $\varepsilon_r = 3{,}5$ .

Calcola la variazione della differenza di potenziale tra le sue armature fra quando era connesso alla batteria e quando è inserito completamente il materiale. Le armature sono distanti tra loro 3 mm, quanto vale la densità volumica di energia finale?

Soluzione

1) Nuova tensione con dielettrico

Dalla relazione $V = \frac{Q}{C}$ e $C = \varepsilon_r \left( \varepsilon_0 \frac{S}{d} \right)$ , la capacità del condensatore diventa 3,5 volte più grande.
Quindi la tensione si riduce di 3,5 volte:

$V = \frac{12}{3{,}5} = 3{,}42 \, \text{V}$

2) Variazione di differenza di potenziale

$\Delta V = |V - V_0| = |3{,}42 - 12| = 8{,}6 \, \text{V}$

3) Equazione con capacità iniziale e finale

$\begin{aligned} & V_0 = \frac{Q}{C_0}, \quad V = \frac{Q}{3{,}5 C_0} \\ & \Rightarrow V_0 - V = Q \left( \frac{1}{C_0} - \frac{1}{3{,}5 C_0} \right) = \frac{2{,}5 Q}{3{,}5 C_0} \end{aligned}$

4) Relazione tra superficie e capacità

$C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \frac{S}{d} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{C d}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}$

5) Densità di energia volumica

$\frac{1}{2} \frac{C V^2}{S d} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\varepsilon_r \varepsilon_0 \cdot \frac{S}{d} \cdot V^2}{S d} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r V^2}{2 d^2}$

$= \frac{3{,}5 \cdot 8{,}86 \cdot 10^{-12} \cdot (3{,}42)^2}{2 \cdot (3 \cdot 10^{-3})^2} = 2 \cdot 10^5 \, \frac{\text{J}}{\text{m}^3}$

Variazione di tensione e densità di energia in un condensatore con dielettrico inserito

1) Nuova tensione con dielettrico

2) Variazione di differenza di potenziale

3) Equazione con capacità iniziale e finale

4) Relazione tra superficie e capacità

5) Densità di energia volumica

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