Esercizio 8: Soluzione

Esercizio 8 – Soluzione

Schema esercizio 8 Kirchhoff

Dati noti

$E_1 = 11\,\text{V}$
$E_2 = 7\,\text{V}$
$E_3 = 2\,\text{V}$
$R_1 = 1\,\Omega, \quad R_2 = 1\,\Omega, \quad R_3 = 1\,\Omega$
$I_3 = 2\,\text{A}$

Legge di Kirchhoff al nodo A

$I_3 = I_1 + I_2$

Equazione della maglia sinistra

$0 = E_1 - V_{R_1} - V_{R_3} \Rightarrow E_1 = R_1 I_1 + R_3 I_3$

Equazione della maglia destra

$0 = V_{R_3} + V_{R_2} - E_2 \Rightarrow E_2 = R_2 I_2 + R_3 I_3$

Inseriamo i valori

Risoluzione di un circuito elettrico con le leggi di Kirchhoff

Consideriamo un circuito composto da tre resistori $ R_1 = 1\,\Omega $, $ R_2 = 2\,\Omega $, $ R_3 = 3\,\Omega $ e due generatori di tensione $ E_1 = 11\,\text{V} $ e $ E_2 = 7\,\text{V} $. Applichiamo le leggi di Kirchhoff per determinare le correnti nei rami.

$\begin{aligned} &\textbf{Equazioni iniziali:} \\ &\begin{cases} I_3 = I_1 + I_2 \\ E_1 = R_1 I_1 + R_3 I_3 \\ E_2 = R_3 I_3 + R_2 I_2 \end{cases} \\[10pt] &\textbf{Inserendo i valori:} \\ &\begin{cases} E_1 = 1 \cdot I_1 + 3 \cdot I_3 = I_1 + 3 I_3 \\ E_2 = 3 \cdot I_3 + 2 \cdot I_2 = 3 I_3 + 2 I_2 \\ I_3 = I_1 + I_2 \end{cases} \\[10pt] &\textbf{Sostituendo } I_1 = I_3 - I_2 \text{ nella prima equazione:} \\ &11 = (I_3 - I_2) + 3 I_3 = 4 I_3 - I_2 \\[10pt] &\textbf{Dalla seconda equazione:} \\ &7 = I_3 + I_2 \Rightarrow I_3 = 7 - I_2 \\[10pt] &\textbf{Sostituendo in } 11 = 3 I_3 - 2 I_2: \\ &11 = 3(7 - I_2) - 2 I_2 = 21 - 3 I_2 - 2 I_2 = 21 - 5 I_2 \\ &\Rightarrow 5 I_2 = 10 \Rightarrow I_2 = \frac{10}{5} = 2\,\mathrm{A} \\[10pt] &\textbf{Calcolando gli altri valori:} \\ &I_3 = 7 - I_2 = 7 - 2 = 5\,\mathrm{A} \\ &I_1 = I_3 - I_2 = 5 - 2 = 3\,\mathrm{A} \end{aligned}$