Sab. Apr 26th, 2025

Esercizio 12: Soluzione

Carica, tensione e tempo in un condensatore con tensione crescente

Un condensatore piano costituito da due fogli quadrati di alluminio di lato $l = 5 \, \text{cm}$ e distanza $d = 0{,}8 \, \text{cm}$
viene progressivamente caricato e la differenza di potenziale tra le armature aumenta nel tempo con legge $V(t) = k t$ con $k = 40 \, \text{V/s}$ .

Quanta carica si trova sulle armature dopo 3 min?
Quanto tempo si deve aspettare per avere un’energia immagazzinata di 2 J?

Soluzione

1) Calcolo della capacità

$C = \varepsilon_0 \frac{S}{d} = 8{,}86 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{(0{,}05)^2}{0{,}008} = 2{,}77 \cdot 10^{-12} \, \text{F} = 2{,}77 \, \text{pF}$

2) Tensione dopo 3 minuti

$t = 3 \, \text{min} = 180 \, \text{s}$

$V_{180} = 40 \cdot 180 = 7200 \, \text{V}$

3) Carica sulle armature

$Q = C \cdot V = 2{,}77 \cdot 10^{-12} \cdot 7200 = 2 \cdot 10^{-8} \, \text{C}$

4) Tempo necessario per raggiungere 2 J di energia

Da $U = \frac{1}{2} C V^2$ otteniamo:

$V = \sqrt{\frac{2U}{C}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2{,}77 \cdot 10^{-12}}} = 1{,}2 \cdot 10^6 \, \text{V}$

Ricaviamo il tempo da \( V(t) = k t \):

$t = \frac{V}{k} = \frac{1{,}2 \cdot 10^6}{40} = 3 \cdot 10^4 \, \text{s}$

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