Esercizio 8: Soluzione

Con il tasto T chiuso si ha:

$R_{AB} = R_1 + \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3}$

Nel nostro caso $R_3 = 800\,\Omega$ , per cui si imposta il sistema:

$\begin{cases} 190 = R_1 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \\ 200 = R_1 + R_2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 190 = 200 - R_2 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \\ R_1 = 200 - R_2 \end{cases}$

Proseguendo sulla prima equazione:

$-10 = -R_2 + \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2} \Rightarrow R_2 - 10 = \frac{R_2 \cdot 800}{800 + R_2}$

Moltiplichiamo ambo i membri per $(800 + R_2)$ :

$(R_2 - 10)(800 + R_2) = 800 R_2$

Sviluppando:

$R_2^2 + 800 R_2 - 10 R_2 - 8000 = 800 R_2 \Rightarrow R_2^2 - 10 R_2 - 8000 = 0$

Applicando la formula risolutiva del trinomio di secondo grado:

$R_2 = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 4 \cdot 8000}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{32100}}{2} = \frac{10 \pm 179{,}16}{2}$

$\Rightarrow \begin{cases} R_2 = \frac{10 + 179{,}16}{2} = 94{,}58\,\Omega \\ R_2 = \frac{10 - 179{,}16}{2} < 0 \quad \text{(non ammissibile)} \end{cases}$

Infine:

$R_1 = 200 - R_2 = 200 - 94{,}58 = 105{,}41\,\Omega$

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