Grandezze alternate sinusoidali

Grandezze alternate sinusoidali

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Si chiamano alternate quelle grandezze che, oltre ad essere periodiche, cioè si ripetono uguali nel tempo, hanno un valore medio nullo; la somma dei valori positivi è uguale a quella dei valori negativi. Nella fisica vi sono diverse grandezze che presentano questo andamento: un esempio immediato è dato dal movimento di un pendolo ideale.

Noi sappiamo che tra correnti elettriche e correnti idrauliche si può stabilire una ben nota analogia. Nella Figura 1a riportiamo il modello idraulico della corrente continua: una pompa, simboleggiante la f.e.m., mantiene in movimento, sempre nel medesimo verso, il flusso d’acqua che rappresenta la corrente elettrica. Nella Figura lb invece, l’acqua è mantenuta in moto alternativo dallo stantuffo e si realizza così un modello di corrente alternata.

Alcune forme particolari di grandezze alternate dette sinusoidali, le cui variazioni rispetto al tempo avvengono secondo curve appunto sinusoidali, sono molto importanti da un punto di vista elettrico, proprio perché è in questa forma che la corrente e la tensione vengono normalmente fornite dalle macchine generatrici, immesse nelle reti di distribuzione e consumate dagli utenti.

La Figura 2 riporta l’andamento di una corrente (ma potrebbe essere una tensione o una potenza), alternata sinusoidale.

In essa sono indicati alcuni dei termini comunemente impiegati nello studio di queste grandezze e in particolare il periodo che rappresenta l’intervallo di tempo dopo il quale la corrente riproduce identicamente le proprie vicende. O meglio definiamo periodo T il numero di secondi durante il quale si verifica una alternanza completa nel nostro esempio, della corrente.

In pratica più che il periodo, interviene nei calcoli una altra grandezza, la frequenza f, definita come il numero di alternanze complete che si verificano in un secondo.

Possiamo allora scrivere:

oppure:

Se il periodo è misurato in secondi (sec), la frequenza sarà espressa con l’unità:

chiamata hertz (Hz). Se, per esempio, il periodo ha la durata di 0,02 secondi:

la frequenza risulta di 50 periodi al secondo (50 Hz).

Geometricamente, una sinusoide è una curva che varia, nel tempo, proporzionalmente al seno di un angolo descritto da un segmento che ruota attorno all’origine con una velocità angolare uniforme ω: il segmento compie in un periodo una intera rotazione, percorre cioè in T secondi un angolo di 2π (360°), e in un secondo l’angolo:

Poiché l’angolo percorso in ogni secondo è proprio la velocità angolare ω, altrimenti detta pulsazione, possiamo scrivere:

e ricordando che:anche:

ω = 2·π·f misurata in rad/sec.

Esprimiamo analiticamente la generica grandezza sinusoidale in questo modo:

in cui:

• a(t) indica i successivi valori istantanei della grandezza alternata sinusoidale;
• A_M indica il valore massimo, o ampiezza;
• ωt indica la misura dell’angolo espresso in radianti, descritto dal segmento rotante, nel tempo t.

Oltre a questi valori le grandezze alternate sinusoidali sono caratterizzate anche dal valore medio e dal valore efficace.

Il valore medio di una grandezza alternata corrisponde all’ordinata media di una semionda (sull’interno periodo è nullo) e viene rappresentato da una lettera maiuscola con al piede m (es. A_m, V_m, I_m). Il valore medio, quando è noto il valore massimo, si ricava con la relazione:

Per definire il valore efficace riferiamoci a quanto detto a proposito degli effetti termici della corrente. Sappiamo che la potenza dissipata su una resistenza con una corrente continua è data da R·I², dove I rappresenta il valore unico e costante della corrente. Se su questa resistenza facciamo passare una corrente alternata, quale valore dobbiamo usare per ottenere la medesima potenza dissipata sotto forma di calore?

Dobbiamo usare proprio il valore efficace che possiamo quindi definire come il valore della corrente alternata che si dovrebbe assegnare ad una corrente continua per ottenere la stessa energia termica per effetto Joule.

Quando indicheremo la corrente I senza indici, intenderemo sempre che si tratta di valore efficace.

Anche se il significato di questo valore è stato ricavato sugli effetti delle correnti, tuttavia tutte le grandezze alternate sinusoidali hanno un loro valore efficace, legato a quello massimo dalla relazione:

Il rapporto tra il valore efficace e il valore medio viene definito fattore di forma, che per le grandezze sinusoidali assume il valore:

Per mettere in evidenza altri elementi caratteristici molto importanti delle grandezze alternate, conviene riferirsi alla costruzione geometrica che dà origine alla sinusoide (Figura 3).

Riprendendo quanto detto in precedenza consideriamo il punto A, estremo del raggio OA, che ruota con moto uniforme, partendo da AO, nel senso indicato dalla freccia.

Possiamo “sviluppare” il suo percorso lungo la circonferenza, sull’asse 0t su cui ad intervalli uguali, facciamo corrispondere cerchi uguali percorsi da A. Poiché il moto è uniforme, basta dividere l’intervallo corrispondente all’intero sviluppo della circonferenza in tanti tratti quanti sono i secondi impiegati dal punto A per percorrerla. Ora, se per ogni istante riportiamo sul diagramma perpendicolarmente alla retta dei tempi, il segmento OH, proiezione del segmento OA sul diametro verticale BB₁, otteniamo una sinusoide. I punti nei quali la curva raggiunge la sua massima ampiezza positiva o negativa corrispondono al passaggio di A per i punti B e B₁, mentre quelli di valore zero corrispondono al passaggio di A per il punto A₀ e A₁. Questo modo di rappresentare le grandezze alternate è senza dubbio il più completo. Ma se dobbiamo eseguire calcoli, risolvere problemi teorici e pratici, esistono altri metodi che si prestano più agevolmente allo studio. Un metodo di calcolo efficace è quello che si serve dalla rappresentazione vettoriale.

Abbiamo visto come si ricava una sinusoide considerando il raggio che percorre una circonferenza con velocità uniforme. Nulla toglie però alle condizioni già viste se quel raggio, rotante viene sostituito con un vettore (segmento orientato) di modulo uguale al valore massimo, e rotante con velocità angolare ω.

La stessa cosa possiamo dire se le grandezze sinusoidali sono più di una: ciascuna di esse risulterà rappresentata da un vettore rotante nel verso antiorario con la propria velocità ω, avente un estremo posto nel punto comune 0, di modulo uguale all’ampiezza della propria sinusoide e formante con l’asse orizzontale nell’istante t = 0 un angolo detto angolo di fase. È importante osservare che, quando le grandezze sinusoidali in gioco sono tutte della stessa frequenza, i vettori rappresentativi ruotano tutti nello stesso verso, con la stessa velocità angolare, conservando quindi tra loro le stesse differenze di fase. Poiché dunque le relative posizioni dei diversi vettori che rappresentano le grandezze sinusoidali date sono costanti nel tempo, si può pensare di considerare i suddetti vettori fermi nel piano, in una posizione corrispondente ad un tempo qualsiasi (di solito si assume la posizione corrispondente a t = 0). Ciò, come si vedrà, torna di grandissima utilità nello studio dei circuiti elettrici in regime sinusoidale.

In particolare, con la rappresentazione vettoriale delle varie grandezze, sono maggiormente visibili le relazioni che interessano le fasi. Così una grandezza sinusoidale, che debba anticipare o ritardare di una certa frazione di periodo rispetto ad un’altra, non farà che ruotare in anticipo o in ritardo del corrispondente angolo di sfasamento φ (in Figura 4 φ = 30°).

Ovviamente fra due grandezze si dice in ritardo quella che, ruotando in senso antiorario raggiunge dopo il suo valore massimo, mentre quella che lo raggiunge per prima si dice in anticipo.

Se due vettori rappresentativi di grandezze sinusoidali hanno la stessa direzione e lo stesso verso (φ = 0) si dicono in fase tra loro, se l’angolo di sfasamento φ = 90° sono in quadratura, se poi i due vettori hanno la stessa direzione, ma verso opposto, (φ = 180°), in opposizione.

Con il metodo dei vettori potranno essere eseguite le operazioni di somma e di differenza fra grandezze alternate, come, ad esempio, la ricerca della risultante di più correnti della stessa frequenza confluenti in un circuito, oppure la determinazione della d.d.p. da applicare ai capi di un circuito in serie, ecc…

Naturalmente le somme e differenze di vettori si potranno eseguire soltanto quando si tratta di grandezze tra loro omogenee (correnti con correnti, tensioni con tensioni, ecc.) e rappresentate nella medesima scala. Quando invece si deve fare il prodotto, le grandezze potranno non essere omogenee, per esempio una corrente e una tensione. In questo caso non si arriva al risultato attraverso operazioni geometriche semplici, come nel caso di somme o differenze, ma la rappresentazione vettoriale può ugualmente riuscire molto espressiva.

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