La gravitazione

Gli oggetti in caduta libera in prossimità della superficie terrestre hanno una accelerazione di 9,8 m/sec². Newton si interessò alla cosa e studiò, in particolare, il sistema Terra-Luna, ipotizzando che la forza che tiene la Luna nella sua orbita intorno alla Terra avesse la stessa natura di quella che attrae gli oggetti in prossimità della superficie terrestre; in altre parole egli proponeva che l’accelerazione centripeta della Luna, che le permette di ruotare intorno alla Terra, fosse dovuta all’attrazione gravitazionale della Terra stessa (→ 1).

L’accelerazione centripeta della Luna – a quanto stabili Newton – è più piccola del valore di g sulla superficie della Terra di un fattore: a_c/g = 1/3600 = 1/(60)².

Essendo la distanza della Luna dal centro della Terra pari a circa 60 volte la distanza di un oggetto situato sulla superficie terrestre, Newton suppose che la forza di gravità fosse inversamente proporzionale al quadrato della distanza dei due corpi. L’ipotesi era valida anche per il moto dei pianeti.

La forza gravitazionale che due particelle o due corpi sferici esercitano l’uno sull’altro è inversamente proporzionale al quadrato della distanza fra i loro centri, e direttamente proporzionale al prodotto delle loro masse.

L’enunciato suppone che le dimensioni dei corpi siano, rispetto alle distanze che li separano, molto piccole, in modo da essere considerati come oggetti puntiformi. In termini matematici:

dove F è il modulo della forza di attrazione gravitazionale; m₁ e m₂ sono le masse dei due corpi che si attraggono; d è la distanza che li separa; K è una costante universale che dipende soltanto dal sistema di unità di misura prescelto (→ 2).

La gravità terrestre

Quando uno dei corpi in attrazione reciproca è la Terra e l’altro un corpo assai più piccolo a breve distanza da questa, la forza di gravitazione è detta peso del corpo, l’attrazione gravità terrestre. Nell’equazione, m, è la massa della Terra (m₁ = 5,97 x 10²⁴ kg). Dividendo la forza F che si esercita su un corpo per la sua massa m₂, avremo, in base alla legge di Newton, l’accelerazione del corpo, indicata con g e chiamata accelerazione di gravità:

dove d è la distanza del corpo di massa m₂ dal centro della Terra, tenuto conto che la massa della Terra è distribuita simmetricamente rispetto al centro. Per un punto prossimo alla superficie terrestre, d è uguale, per approssimazione, al raggio della Terra e l’accelerazione di gravità sulla superficie terrestre è pari a:

il cui valore è, in misura approssimata, 9,8 m/sec². Un satellite artificiale gira attorno alla Terra, seguendo un’orbita circolare di raggio d; il suo peso è la forza centripeta che dà origine al moto circolare; g è l’accelerazione centripeta, pari al quadrato della velocità lineare diviso per il raggio dell’orbita: g = v²/d (→ 3, 4). Avremo quindi:

Ne consegue che la velocità di un satellite che gira a piccola altezza (d = R = 6400 km; g = 9,8 m/sec²) è di 7,9 km/sec.

Dividendo, membro a membro, le espressioni ottenute per g e g₀, si ha:

da cui si ricava che l’accelerazione di gravità è inversamente proporzionale al quadrato della distanza dal centro della Terra. Così, ad esempio, a 6400 km di altezza i corpi hanno un peso pari alla quarta parte del peso che avrebbero sulla superficie terrestre: g è la quarta parte di 9,8 m/sec² (→ 5, 6). Il chilogrammo-forza si definisce come la forza con cui la Terra attrae una massa di un kg, collocata in un luogo dove l’accelerazione di gravità è 9,80665 m/sec².