Metodi risolutivi

Metodi risolutivi

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La legge di Ohm vista in precedenza, pur rimanendo la legge fondamentale dei circuiti elettrici, da sola non è comunque sufficiente a risolvere i diversi e complessi circuiti che si possono presentare nella pratica. Una generica rete elettrica può infatti essere costituita da un insieme molto complesso di elementi che si riuniscono fra di loro a formare i vari lati della rete stessa. Nel circuito elettrico (o rete elettrica) di figura, le diramazioni A e B prendono il nome di nodi.

I nodi sono punti del circuito in cui convergono tre o più conduttori; un tratto di circuito tra due nodi, contenente almeno un componente, è un ramo; un circuito chiuso, formato da tre o più lati consecutivi, dove la corrente possa circolare prende il nome di maglia.

La rete elettrica in figura contiene cinque nodi A, B, C, D ed E e quattro maglie I, II, III e IV. Quando ci troveremo di fronte a reti così complesse per calcolare i valori delle correnti che circolano nei vari lati si ricorre ai principi di Kirchhoff.

1° principio:

In ogni nodo di un sistema di conduttori, la somma delle correnti entranti nel nodo è uguale alla somma delle correnti uscenti da questo.

Osservando la figura si ricava:

I₁+I₂=I₃+I₄+I₅

Se consideriamo positive le correnti entranti nel nodo e negative quelle uscenti, otterremo che la loro somma algebrica è nulla, sicché nel caso in esame si può scrivere:

I₁+I₂–I₃–I₄–I₅=0

2° principio:

In ogni maglia di un circuito la somma algebrica delle f.e.m. agenti nei suoi lati, uguagliala somma algebrica delle cadute di tensione nei detti lati.

Se assumiamo positive le correnti che nel circuito hanno il verso destrorso, e negative quelle con verso sinistrorso, avremo per il circuito di figura:

R₁·I₁–R₂·I₂–R₃·I₄–R₄·I₄=E₁–E₃

che può essere scritta in modo equivalente, dicendo che in ogni maglia chiusa, la somma algebrica delle tensioni sui vari lati è sempre uguale a zero. Cioè:

V_AB+V_BC+V_CD+V_DA=0

Oltre ai due principi di Kirchhoff esistono altri metodi risolutivi molto interessanti, uno di questi va sotto il nome di Thevenin. Questo metodo, detto anche del generatore equivalente, consente di semplificare in molti casi il calcolo relativo a un ramo di una rete complessa operando la sostituzione dell’intera rete con un generatore ideale di forza elettromotrice.

Il metodo risolutivo di Thevenin afferma che: “in un qualsiasi ramo di una rete circola una corrente uguale a quella che vi circolerebbe se tutta la rete venisse sostituita da un circuito equivalente costituito da un generatore ideale di f.e.m. e da una resistenza in serie”.

La f.e.m. di tale generatore corrisponde alla differenza di potenziale che la rete produce ai capi aperti del ramo in esame, la resistenza in serie, invece, alla resistenza equivalente della rete priva dei generatori.

La figura di seguito riporta un esempio di circuito di cui si vuol conoscere la corrente relativa al ramo A–B.

Il circuito equivalente secondo l’enunciato di Thevenin è indicato a fianco. Per la valutazione della f.e.m. del generatore ideale, si calcola la caduta di tensione tra A e B del circuito in figura b. Nell’eseguire questo calcolo fate attenzione al fatto che, se vi sono resistenze in serie al ramo aperto (in questo caso A–B), esse non influiscono sulla valutazione della differenza di potenziale perché non sono percorse da corrente e quindi non danno luogo a cadute di tensione.

Per trovare la resistenza in serie al generatore, invece si considera il circuito di figura c e se ne calcola, con i metodi già visti, la resistenza equivalente.

I due parametri equivalenti così trovati, possono essere sostituiti a tutta la rete, e gli effetti che si provocano sono sempre uguali a quelli provocati dalla rete reale. In tal modo vengono molto

semplificati i calcoli.

Un altro principio utilizzabile nelle risoluzioni dei circuiti elettrici complessi è il principio di sovrapposizione degli effetti, valido in tutti i campi della fisica, può essere enunciato in svariati modi, uno dei quali, del tutto generale, può essere questo: “l’effetto di più cause agenti insieme uguaglia la somma degli effetti di ciascuna causa agente separatamente.”

Se consideriamo come causa le singole forze elettromotrici agenti nel circuito e come effetti le correnti nei singoli rami, le singole correnti si possono ottenere come somma delle correnti parziali (su ogni ramo) dovute alle forze elettromotrici prese separatamente. Adoperando questo metodo bisogna fare attenzione alle seguenti considerazioni:

• quando si toglie dalla rete un generatore di forza elettromotrice, occorre ripristinare la continuità del circuito ponendo al posto del generatore un corto circuito oppure, essendo il generatore reale, la sua resistenza interna.
• la somma delle singole correnti è intesa come somma algebrica per cui va tenuto conto del segno delle singole grandezze.

Ci sono altri metodi ancora per la risoluzione dei circuiti, tra questi vogliamo metterne in evidenza uno molto utile e semplice basato sulla conoscenza della potenza elettrica il principio di conservazione dell’energia.

Questo principio afferma che se un sistema è isolato, la sua energia totale si conserva, resta cioè costante. In altre parole l’energia di un sistema può trasformarsi in una forma o in un’altra (ad esempio da potenziale in cinetica), ma la sua quantità totale è sempre la stessa. Parlando di circuiti elettrici si preferisce estendere questo concetto alle potenze. Innanzitutto partendo dalla definizione di potenza elettrica, applichiamola ai singoli elementi del circuito elettrico. Si ha:

• Potenza corrispondente ad energia erogata dal generatore: P_e=E·I, essendo E la f.e.m. del generatore.
• Potenza corrispondente ad energia ceduta esternamente da un utilizzatore attivo in altra forma (ad esempio meccanica): P_u=E´·I, essendo E´ la cosiddetta forza controelettromotrice dell’utilizzatore attivo.
• ƒPotenza corrispondente ad energia dissipata nelle linee o in un utilizzatore passivo:
• P_p=V_c.d.t.·I², essendo V_c.d.t. la relativa caduta di tensione e R la resistenza della linea o dell’utilizzatore.
• Potenza corrispondente ad energia elettrica transitante in una sezione di un circuito:
• P=V·I, essendo V la tensione che si misura fra i due conduttori in quella sezione del circuito.

Per poter fare un bilancio fra queste potenze occorre definire una convenzione di segno: considereremo positiva l’energia erogata dal generatore, e negative quelle che il sistema elettrico cede in qualsiasi modo all’esterno.

Se vogliamo applicare il principio di conservazione dell’energia alle potenze in un circuito elettrico avremo l’eguaglianza tra le potenze generate e quelle utilizzate in qualsiasi modo (comprese le perdite nelle linee).

P_e=P_u+P_p

o utilizzando le convenzioni di segno sopra dette:

P_e–P_u–P_p=0

che sostituendo le singole relazioni dette, ci dà:

E·I=E´·I + V_c.d.t.·I

Considerando quanto detto a proposito della con­venzione di segno di generatori e utilizzatori, si può identificare il flusso di potenza vedendo se la corrente esce dal polo positivo (generatore, pila) o entra dal polo positivo (utilizzatore). Questa convenzione inoltre permette anche di valutare il senso dell’energia transitante in un circuito.

Quello che è importante osservare è che più potenze, siano esse erogate o utilizzate, vanno sempre sommate. Se cioè, si ha a che fare con generatori collegati in serie o in parallelo, le relative potenze si sommano per avere la totale potenza erogata. Lo stesso vale per quanto riguarda gli utilizzatori e le linee. È quindi sempre valido il principio di conservazione dell’energia, cioè che “tanta energia entra, tanta ne deve uscire” indipendentemente dai collegamenti effettuati.

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